直线相关

　　一、相关系数的意义

　　相关分析是用相关系数（r)来表示两个变量间相互的直线关系，并判断其密切程度的统计方法。相关系数r没有单位。在-1～+1范围内变动，其绝对值愈接近1，两个变量间的直线相关愈密切，愈接近0，相关愈不密切。相关系数若为正，说明一变量随另一变量增减而增减，方向相同；若为负，表示一变量增加、另一变量减少，即方向相反，但它不能表达直线以外（如各种曲线)的关系。

　　为判断两事物数量间有无相关，可先将两组变量中一对对数值在普通方格纸上作散点图，如图9.1～9.8所示。图中点子的分布可出现以下几种情况：

　　正相关——见图9.1，各点分布呈椭圆形，Y随X的增加而增加，X亦随Y的增加而增加，此时1>r>0。椭圆范围内各点的排列愈接近其长轴，相关愈密切，当所有点子都在长轴上时，r=1（见图9.2)，称为完全正相关。

　　负相关——见图9.3，各点分布亦呈椭圆形，Y随X的增加而减少，X也随Y的增加而减少，此时0>r>-1。各点排列愈接近其长轴，相关愈密切，当所有点子都在长轴上时，r=1（见图9.4)，称为完全负相关。

　　在生物现象中，完全正相关或完全负相关甚为少见。

　　无相关——见图9.5、图9.6和图9.7，X不论增加或减少，Y的大小不受其影响；反之亦然。此时r=0。另外，须注意有时虽然各点密集于一条直线，但该直线与X轴或Y轴平行，即X与Y的消长互不影响，这种情况仍为无相关。

　　非线性相关——见图9.8，图中各点的排列不呈直线趋势，却呈某种曲线形状，此时r≈0，类似这种情况称为非线性相关。

图9.1—9.8　不同相关系数的散点示意图

　　二、相关系数的计算及假设检验

　　（一)相关系数计算法

　　计算相关系数的基本公式为：

（9.1)

　　式（9.1)中r为相关系数，∑（X-X)²为X的离均差平方和，∑（Y-Y)²为Y的离均差平方和，∑（X-X)（Y-Y)为X与Y的离均差乘积之和，简称离均差积之和，此值可正可负。以此式为基础计算相关系数的方法称积差法，在实际应用时式（9.1)中各离均差平方和（简称差方和)与积之和可化为

　（9.2)

　　现举例说明计算相关系数的一般步骤：

　　例9.1　测定15名健康成人血液的一般凝血酶浓度（单位/毫升)及血液的凝固时间（秒)，测定结果记录于表9.1第（2)、（3)栏，问血凝时间与凝血酶浓度间有无相关？

　　1．绘图，将表9.1第（2)、（3)栏各对数据绘成散点图，见图9.9。

　　2．求出∑X、∑Y、∑X²、∑Y²、∑XY，见表9.1下方。

　　3，代入公式，求出r值。

图9.9　凝血时间与凝血酶浓度散点图及回归直线

表9.1　相关系数计算表

　　∑X=15.1　∑Y=222
　　　　　　　　　　　　　 ∑XY=221.7　
　∑X²=15.41∑Y²=3304 　　　　

　　本例的相关系数r=-0.9070，负值表示血凝时间随凝血酶浓度的增高而缩短；绝对值∣-0.9070∣表示这一关系的密切程度。至于此相关系数是否显著，则要经过下面的分析。

　　（二)相关系数的假设检验

　　虽然样本相关系数r可作为总体相关系数ρ的估计值，但从相关系数ρ=0的总体中抽出的样本，计算其相关系数r，因为有抽样误差，故不一定是0，要判断不等于0的r值是来自ρ=0的总体还是来自ρ≠0的总体，必须进行显著性检验。检验假设是ρ=0，r与0的差别是否显著要按该样本来自ρ=0的总体概率而定。如果从相关系数ρ=0的总体中取得某r值的概率P>0.05，我们就接受假设，认为此r值的很可能是从此总体中取得的。因此判断两变量间无显著关系；如果取得r值的概率P≤0.05或P≤0.01，我们就在α=0.05或α=0.01水准上拒绝检验假设，认为该r值不是来自ρ=0的总体，而是来自ρ≠0的另一个总体，因此就判断两变量间有显著关系。

　　由于来自ρ-0的总体的所有样本相关系数呈对称分布，故r的显著性可用t检验来进行。本例r=-0.9070，进行t检验的步骤为：

　　1．建立检验假设，H₀：ρ=0，H₁：ρ≠0，α=0.01

　　2．计算相关系数的r的t值：

　　（9.3)

　　3．查t值表作结论

　　ν=n-2=15-2=13

　　根据专业知识知道凝血酶浓度与凝血时间之间不会呈正相关，故宜用单侧界限，查t值表得

　　t_0.01,13=2.650

　　今∣t_r∣>t_0.01,13，P<0.01，在α=0.01水准上拒绝H₀，接受H₁，故可认为凝血时间的长短与血液中酶浓度有负相关。

　　为简化t_r检验的计算过程，数理统计工作者根据t分配表，已把不同自由度时r的临界值求出，并列成相关系数界值表（见附表11)。故求相关系数后，只需查表就可知道该r值是否显著，而不必再计算t_r值。

　　r的显著性界限为

　　|r|0.05,ν　P>0.05　相关不显著

　　r_0.05,,≤|r|<_r0.01,,　0.05≥P>0.01　

　　在α=0.05水准上相关显著

　　|r|≥r_0.01,, 　P≤0.01　在α=0.01水准上相关显著

　　例9.1的ν =15-2=13，查附表11中P^（1)的界值，得：

　　r_0.05,13=0.441r_0.01,13=0.592

　　现r=-0.9070,∣r∣>r_0.01,13,P<0.01,按α=0.01水准，拒绝H_O,接受H₁。认为ρ≠0，说明凝血时间的长短与血液中凝血酶浓度有负相关。结论与计算所得一致。

　　相关系数的显著性与自由度的大小有关，如n=3,ν=1时，虽r=-0.9070，却为不显著；若ν=400时，即使r=0.1000，亦为显著。因此不能只看r的值，不考虑ν就下结论。