相关回归分析

　　二、回归分析（regression analysis)

　　医学上，不少娈量间虽存在一定关系，但这种关系不象函数关系那样十分确定。例如正常人的血压随年龄而增高，但这只是总的趋势，有些高龄人的血压却不一定偏高；一群正常人按年龄和血压两个变量在坐标上的方位点，并非集中在一条上升直线上，而是围绕着一条有代表性的直线上升。

　　直线回归分析的任务在于找出两个变量有依存关系的直线方程，以确定一条最接近于各实测点的直线，使各实测点与该线的纵向距离的平方和为最小。这个方程称为直线回归方程，据此方程描绘的直线就是回归直线。

　　（一)直线回归方程式（linear regression equation)的计算

　　直线回归方程的通式为：

　　=a+bX　公式（22.3)

　　式中Y为自由变量X推算因变量Y的估计值，a为回归直线在Y轴上的截距，即X=0时的Y值；b为样本回归系数（regression coefficient)，即回归直线的斜率（slope或称坡度)，表示当X变动一个单位时，Y平均变动b个单位。如果已知a与b，用以代入公式（22.3)，即可求得直线回归方程。求a和b的公式分别为：

　　公式（22.4)

　　公式（22.5)

　　对样本中两个变量分析，不但可作相关分析，还可进一步作直线回归分析。仍以表22-1为示范，该例经过直线相关分析，r=0.6097，两变量间有直线关系，从相关系数计算时，已求得：

　　Σ（X-x)（Y-Y)=41.2000

　　Σ（X-x)²=677.4194

　　而 Y=ΣY/n=99.2/31=3.2000

　　x=ΣY/n=534/31=17.2258

　　代入公式（22.4)

　　b=41.2000/677.4194=0.0608

　　代入公式（22.5)

　　a=3.2000-0.0608×17.2258=2.1527

　　代入公式（22.3)

　　=2.1527+0.0608X

　　（二)样本回归系数的假设检验

　　样本回归系数也有抽样误差问题，故需对b作假设检验，以评估b是否可能从回归系数为零（即β=0)的总体中随机抽得的。

　　检验步骤：

　　H₀：β=0 即b是由β=0的总体中随机抽样的样本回归系数。

　　H₁：β≠0

　　α=0.05

　　t检验：检验公式为

　　　t_b=｜b｜/s_b 公式（22.6)

　　式中s_b是回归系数的标准误，计算公式为

　　公式（22.7)

　　式中s_y.x为各观察值Y距回归直线（Y)的标准差，是当X的影响被扣除后Y方面的变异指标。可用以下公式计算：

　　　公式（22.8)

　　　公式（22.9)

　　本例上述已算得

　　　Σ（X-x)²=677.4194

　　　Σ（Y-Y)²=6.7400

　　　Σ（X-x)(Y-Y)=41.2000

　　分别代入公式（22.9),(22.8),(22.7)和(22.6)得

　　Σ(Y-Y)^２＝6.7400-41.2000²/677.4194=4.2343

　　t_b=0.0608/0.01468=4.1417

　　分析评价 本例自由度v=31-2=29，查t值表，t_0.01（29)=2.756,P＜0.01,按α=0.05检验水准，拒绝无效假设，可以认为待产妇24小时尿中雌三醇含量与初生儿体重之间存在直线回归关系。医学全在线www.med126.com

　　（三)描绘回归直线

　　根据以上求得回归方程Y=2.1527+0.0608x，可以在自变量X的实测范围内（本例为7～27)任取X₁和X₂两值代入上式求得在图22-2中的P₁（X₁，Y₁)和P₂（X₂，Y₂)两坐标点，将两点连结为一直线，就属该方程的回归直线。作图要注意的是P₁、P₂两点最好距离远些，绘出的直线在坐标上误差就小些。

　　三、应用直线相关与回归分析时的注意事项

　　1．作相关与回归分析要有实际意义，不要把毫无关联的两个事物或两种现象作相关、回归分析。

　　2．两事物或现象间有相关，不一定有回果关系，也可能仅是伴随关系。但是，如果两事物或现象间存在因果关系，则两者必然是相关的。

　　3．相关与回归分析所说明的问题是不同的，但又是有联系的。相关表示相互关系，回归表示从属关系。可以证明，同一批资料所算得的r与b的检验统计量（tr,tb)是相同的，如本章的案例前后算得的tr=tb=4.14。由于相关系数的计算及假设检验比较方便，故可用相关系数的显著性检验取代回归系数的显著性检验。事实上在作回归分析之前，一般先作相关分析，而只有在确定了两变量间有直线关系的前提下，求回归方程及回归线才有意义。

　　4．相关与回归的应用，仅限于原实测数据的范围内，而不能随意外推。因为不知道在此范围之外，两变量间是否仍存在同样的直线关系。如果确有进行外推的充分根据和需要，亦应十分慎重。

　　5．在X与Y均呈正态变量时的加归分析中，由X 推算Y与由Y推算X的回归系数及回归方程是不同的，切勿混淆。

附表22-1 相关系数显著性界值表

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