卫生学电子教材-第八章 计数资料的统计方法 :第三节 计数资料的x2检验

上一节介绍的计数资料的u检验，只能推断两个两类构成总体的某类率或某类构成比是否相等。本节介绍计数资料的x²检验（chi-square test)，是计数资料的通用假设检验方法，可推断两个或多个两类构成总体的某类率或某类构成比是否相等；可推断两个或多个多类构成总体的分类构成比是否相同。

x²检验要求把样本的分类个体数排成行×列表或列联表（contingency table)。现以最简单的2×2表即四格表（fourfold table)来说明x²检验的基本思想。

设要推断某人群男和女的某种疾病的患病率是否相等，即该病是否和性别有关。某人群为总体，该人群的每个人为个体。个体有2个研究因素，性别分男和女，某种疾病分有和无。从总体抽取样本，把样本的分类个体数a、b、c、d排成四格表，如表8－7，其2行合计为n₁.和n₂.，2列合计为n.₁；和n.₂，总合计为n。 

从该人群总体中随机抽样构成四格表资料有3种抽样方法：①从该总体抽取含量为n的一个样本，按性别的男和女及疾病的有和无的组合清点个体数；②把该总体分成男和女两个总体，分别抽取含量为n₁.和n₂.的两个样本，按疾病的有和无清点个体数；③把该总体分成有病和无病两个总体，分别抽取含量为n.₁和n.₂的两个样本，按性别的男和女清点个体数。①和②都是由男和女的样本患病率来推断男和女的总体患病率是否相等。③是由有病和无病的样本男性（或女性)构成比来推断有病和无病的总体男性构成比是否相等，若相等就可间接推断男和女的总体患病率相等；若不等就可间接推断男和女的总体患病率不等。

3种抽样方法计算样本检验统计量x²值的公式相同，现以第1种和第2种抽样方法说明之。 a、b、c、d为四格表的实际频数（actual frequency)，用A₁₁、A₁₂、A₂₁、A₂₂表示。检验假设是男和女的总体患病率相等，即π₁=π₂=π。如果检验假设成立，则四格表的合计率n.₁/n应是π的最佳估计值，用这个估计值和2个行合计算出四格表的理论频数（theoretical frequency)，T₂₁=n₂.n.₁/n，T₁₂=n₁.n.₂/n，同理可得T₁₂=n₁.n.₂/n，T₂₂=n₂.n.₂/n。把行合计记为n_R，列合计记为n_C，则求行×列表的R行C列的理论频数T_RC的公式为

求行×列表样本检验统计量x²值的基本公式为

∑表示对行×列表的所有格子求和，如行数用R表示，列数用C表示，则共有R×C格。x²分布只有1个参数——自由度ν，对于行×列表为ν=（R-1)（C-1)（8·19)行×列表的自由度可以这样理解：在R个行合计数和C个列合计数固定的情况下，R×C个格子可自由取值的格子数。如四格表的自由度ν=（2-1)（2-1)=1，即4个格子只有1个格子可自由取值，其他3个格子取值可用行合计数或列合计数用减法求得。因此行×列表只需用（8·17)式求ν个理论频数，其余的理论频数可用行合计数或列合计数用减法求得。行×列表x²值反映R×C个格子的实际频数和理论频数的差别程度，如果检验假设成立，则x²值越大，它由抽样误差造成的P值越

常、可疑和冠心病三者的眼底动脉硬化的分级构成比不同或不全相同)。

四格表资料有一般四格表资料和配对四格表资料，用于推断两个总体率（或总体构成比)是否相等的假设检验。一般四格表资料的x²检验和上一节介绍的推断两个总体率是否相等的u检验等价。配对四格表资料的x²检验相对于一般四格表资料的x²检验，可提高两个总体率差别的假设检验的检验效能，或可减少样本含量。

 1.四格表资料的x²检验 四格表资料如表8－7。当每格的理论频数T≥5时，计算x²值既可用基本公式（8·18)；也可用由基本公式推导出的下述四格表的专用公式，它省出求理论频数的麻烦，简化运算。

当四格表资料的总合计数n≥40而有理论频数1≤T＜5时，需用下述校正公式：

注意的是：当四格表资料的n＜40而有一格的理论频数 T＜5时，或有一格的理论频数T＜1时，则用上述校正公式也不行，需查专门医学统计书所介绍的假设检验方法。

例8·7问例8·6中某山区小学男生和女生的肺吸虫感染率有无差别（用x²检验)？其四格表资料如表8－9，计算出两个样本率是便于观察比较。 

设该山区小学男生总体的肺吸虫感染率为π₁，女生总体的肺吸虫感染率为π₂，假设为：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

若用基本公式（8·18)求x²值，需先用公式（8·17)求各格的理论频数：80×36/165=17.45，80-17.45=62.55，36-17.45=18.55，85-18.55=66.45。于是

若用四格表专用公式（8·20)求x²值，则有

两者x²值应相同，如有微小差别是由于计算过程中尾数的舍入误差。

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水准拒绝H₀，接受H11，认为该山区小学男生和女生的肺吸虫感染率有差别，男生高于女生。

例8·8某医师用甲、乙两疗法治疗小儿单纯消化不良，治疗结果如表8－10，问两种疗法的治愈率是否相等？

设对小儿单纯性消化不良的总体治愈率甲疗法为π₁，乙疗法为π₂，假设为：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

最小的理论频数为T₁₂=33×9/71=4.18，需用校正公式。据（8·22)式有

查x²界值表得P＞0.05。按α=0.05水准不拒绝H₀，尚不能认为甲、乙两疗法对小儿单纯性消化不良的治愈率不等。

2.配对四格表资料的x²检验 和上一章第三节中介绍的计量资料的配对一样，配对设计有同源配对和异源配对。只是计量资料的配对其结果是数值变量；而计数资料的配对其结果是分类变量。

配对四格www.med126.com表的样本资料如表8－11。四个格子内的个体数（同源配对)或对子数（异 

源配对)a、b、c、d，可分作两种方法（如甲法和乙法)结果相同的个体数或对子数a和d；结果不同的个体数或对子数b和c。用b和c的差别来推断两个总体率（如甲法和乙法两个总体的阳性率)是否相等。当n≥40时，计算x²值的公式为

若n＜40，需用下述校正公式：

例8·9有28份咽喉涂抹标本，把每份标本分别接种在甲、乙两种白喉杆菌培养基上，观察两种白喉杆菌生长情况，结果如表8－12。问两种白喉杆菌培养基的效果有无差别？设甲、乙两种白喉杆菌培养基的培养结果的总体阳性率分别为π₁和π₂，假设为：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

ν=1

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水准拒绝H₀，接受H11，认为甲、乙两种白喉杆菌培养基的效果有差别，甲培养基的阳性率高于乙培养基的阳性率。

  现在介绍一般的行×列表资料的x²检验。它当然也适用于四格表资料，但通常是指行数或列数大于2的行×列表资料，可用于推断多个两类构成总体的某类率或某类构成比是否相等；可用于推断两个或多个多类构成总体的分类构成比是否相同。

行×列表资料的x²检验可用基本公式（8·18)；但一般用由基本公式推导出的下述简捷公式，它省去求理论频数的麻烦，简化运算。

式中n为总合计数，A为每个格子的实际频数，n_R和n_C分别为与A同行和同列的合计数。

注意的是：行×列表资料用x²检验，当有1/5及以上格子的理论频数T＜5，或有一个格子T＜1时，应该与相邻组合并以增加理论频数，达到1/5格子以下T＜5。应注意合并组的合理性，如年龄分组可以并组；但按性质分组（如血型的O型、A型、B型和AB型)便不能并组，只有增加样本含量。

还要注意的是：推断多个总体率（或总体构成比)是否相等的x²检验，结论为拒绝H₀、接受H₁时，是认为各总体率不等或不全相等，其含意为不能确定其中任意两个总体率都不等，只能说其中至少有两个总体率不等。

例8·10某市重污染区、一般市区和农村的出生婴儿的致畸情况如表8－13。问3个地区的出生婴儿的致畸率有无差别？

设该市重污染区、一般市区和农村的出生婴儿总体的致畸率分别为π₁、π₂和π₃，假设为：

H₀：π₁=π₂=π₃

H₁：π₁、π₂和π₃不等或不全相等

α=0.05

据（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.01。按α=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，认为该市重污染区、一般市区和农村出生婴儿的致畸率有差别。

例8·11据表8－14资料，问我国南、北方鼻咽癌患者（按籍贯分)的病理组织学分类的构成比是否相同？ 

假设为：

H₀：南、北方鼻咽癌患者总体的病理组织学分类的构成比相同

H₁：南、北方鼻咽癌患者总体的病理组织学分类的构成比不同

α=0.05据（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.05。按α=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，认为我国南、北方鼻咽癌患者的病理组织学分类的构成比不同。

例8·12 某工厂在冠心病调查中研究冠心病与眼底动脉硬化的关系，共调查588人，资料如表8－15。问冠心病与眼底动脉硬化有无关系？

假设为：

H₀：总体冠心病与眼底动脉硬化无关

H₁：总体冠心病与眼底动脉硬化有关

α=0.05

据（8·25)式有

查x²界值表得P＜0.01。按α=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，认为冠心病与眼底动脉硬化有关（即正填写内容