卫生学电子教材-第八章 计数资料的统计方法 :第二节 计数资料的统计推断

本节和下节介绍计数资料的统计推断。本节介绍最简单的计数资料是分成两类，计数资料原分成多类但只研究其中特定的一类也可简化为两类——某类和非某类。

两类构成总体为：总个体数为N，某类个体数为M，非某类个体数为N-M。只有一个总体参数，据其实际含义称为某类的总体率或总体构成比，用π表示，即π=M/N。

率（或构成比)的抽样误差与标准误和均数的抽样误差与标准误其概念相同。从总体率为π的两类构成总体中随机抽取含量n的样本，抽得某类个体数X（非某类个体数n-X)，算出样本率p=X/n。由抽样造成的样本率和总体率的差别称为率的抽样误差。所有可能的含量n的样本率构成变量为p的总体。样本率总体中p值的差别是由抽样误差造成的。总体率π为定值，分析样本率p的分布情况就可得出抽样误差p-π的分布情况。数理统计学中证明，含量n的样本率p的总体均数为π，标准差为

率的标准差又称为率的标准误。率的标准误是描述率的抽样误差的统计指标（变异指标)，率的标准误越大，则率的抽样误差越大（更确切地说，是抽样误差的波动程度越大)。

由（8·8)式可见，率的标准误σ_p的大小决定于总体率π和样本含量n，n越大，σ_p越小。从同一总体中抽样，总体率为定值，因此要减小率的标准误，降低抽样误差，只有加大样本含量。

总体率π一般是未知的，若用样本率p估计，则据（8·8)式，σ_p的样本估计值为例8·3 在某镇按人口的1/20随机抽取329人，作血清登革热血凝抑制抗体反应检验，发现阳性者29人，求阳性率及其标准误。

该镇329人血清登革热血凝抑制抗体反应检验的阳性率为8.81%，标准误为1.56%。

关于样本率p的总体分布，作说明如下：两类构成总体某类率为π，非某类率为1-π。从总体中抽取含量n的样本，抽得某类个体数X和某类率p是不连www.lindalemus.com续的，其取值可能情况为X=0，1，2，…，n，即p=0/n，1/n，2/n，…，n/n。由于抽得某类个体的概率为π，抽得非某类个体的概率为1-π，数理统计学中证明，p（或X)为上述各种取值的概率等于二项式〔（1-π)+π〕ⁿ。展开后的各项，故p（或X)服从二项分布。二项分布是不连续的概率分布，有2个参数：原总体率π和样本含量n。π=0.5，二项分布对称；π≠0.5，二项分布不对称。π和0.5相差越大，二项分布越不对称，特别当n小时更是如此。实际验证发现，当n足够大，π和1-π均不太小，有nπ≥5和n（1-π)≥5时，二项分布近似正态分布。因此当π＜0.5时，总体率π越小，需要的样本含量n越大p分布才近似正态分布，例如π=0.2，0.1，0.05，则需要的样本含量至少为n=25，50，100。

和由样本统计量推断总体均数一样，由样本统计量推断总体率（或总体构成比)有2个重要方面：区间估计和假设检验www.lindalemus.com/jianyan/。先介绍总体率的区间估计。

设两类构成总体某类总体率为π，从中抽取含量n的样本，抽得某类个体数为X，要由样本估计总体率π的1-α可信区间。

算出样本率p（X/n)，当nπ≥5和n（1-π)≥5时，p近似服从均数为π、标准差（即标准误)为σ_p的正态分布，故标准正态变量为

当总体率π未知时，σ_p用其估计值s_p取代，则近似有

当总体率π未知时，正态近似条件nπ≥5和n（1-π)≥5用np≥5和n（1-p)≥5取代，由于np=X，因此即样本中的某类个体数X≥5和非某类个体数n-X≥5。只要p不接近0或1，n较大即可达到此要求。在医学实际应用中，此条件一般容易满足，故总体率的区间估计常可用正态近似法。据（8·11)式，总体率的1-α可信区间为

u_a值见上章的表7－8（也可见表7－9的ν=∝的t_a值)。常用的是求总体率的95%可信区间，双侧u_0.05=1.96，如要提高可信度，则求总体率的99%可信区间，双侧u_0.01=2.58。样本率作为总体率的点估计处于可信区间中心。

例8·4求例8·3中某镇人群血清登革热血凝抑制抗体反应阳性率的95%可信区间。

在例8·3中已算得p=0.0881，s_p=0.0156，故有：

0.0881±1.96×0.0156=0.0575～0.1187=5.75%～11.87%

该镇人群血清登革热血凝抑制抗体反应阳性率的95%可信区间为5.75%～11.87%。

注意的是：若样本中某类个体数X＜5或非某类个体数n-X＜5时，则不宜用正态近似法求总体率的可信区间，此时可据样本含量n和某类个体数X，查专门医学统计书中据二项分布算得的总体率的可信区间表。

推断单个总体率（或总体构成比)π是否等于已知总体率π₀，和推断两个总体率π₁和π₂是否相等，其假设检验的基本思想和步骤和总体均数的假设检验相同。只是总体均数的假设检验其样本检验统计量为t，称为t检验；而总体率的假设检验其样本检验统计量为u，称为u检验。

1.样本率和总体率比较的u检验从未知总体率π的两类构成总体抽取含量n的样本，推断π是否等于π₀（一般为理论率或标准率，如某病用常规药的治愈率)。作p和π₀比较的u检验，据（8·10)式，计算u值的公式为

例8·5根据以往经验，一般胃溃疡病患者中有20%发生胃出血症状。现某医院观察65岁以上胃溃疡病人152例，有48例发生胃出血症状。问老年胃溃疡病患者是否较容易发生胃出血？

已知一般胃溃疡病患者总体的胃出血发生率π₀为0.2，设65岁以上老年胃溃疡患者总体的胃出血发生率为π，假设为：

H₀：π=0.2

H₁：π＞0.2

单侧α=0.05

今π₀=0.2，n=152，X=48，

据（8·13)式有

单侧u_0.01=2.326，现u＞u_0.01，得p＜0.01。按α=0.01水准拒绝H₀，接受H₁，认为老年胃溃疡病患者较一般胃溃疡病患者较容易发生胃出血。

2.两个样本率比较的u检验从两个未知总体率π₁和π₂的两类构成总体分别抽取含量n₁和n₂的两个样本，数理统计学中证明，当π₁=π₂=π时，两个样本率之差p₁-p₂的总体均数为0，标准差为

σ_p1-p2为两个率之差的标准误，其样本估计值为

式中p_c为两个样本的合并率，是π的点估计。设p₁=X₁/n₁，p₂=X₂/n₂，则p₂=（X₂+X₂)/（n₁+n₂)或p_c=（n₁p₁+n₂p₂)/（n₁+n₂)。

当两个样本满足正态近似条件时，标准正态变量为

推断π₁是否等于π₂，作p₁和p₂比较的u检验，用（8·16)式计算u值。

例8·6在某山区小学随机抽取男生80人，其中肺吸虫感染23人；随机抽取女生85人，肺吸虫感染13人。问该山区小学男生和女生的肺吸虫感染率有无差别？

设该山区小学男生总体的肺吸虫感染率为π₁，女生总体的肺吸虫感染率为π₂，假设为：

H₀：π₁=π₂

H₁：π₁≠π₂

α=0.05

今n₁=80，X₁=23；n₁=85，X₂=13。

据（8·16)式有

双侧u_0.05=1.96，现u＞u_0.05，p＜0.05，按α=0.05水准拒绝H₀，接受H₁，认为该山区小学男生和女生的肺吸虫感染率有差别，男生高于女生。