X²（称卡方)检验用途较广，但主要用于检验两个或两个以上样本率或构成比之间差别的显著性，也可检验两类事物之间是否存在一定的关系。

　　一、两个率的比较

　　（一)X²检验的基本公式　下页末行的例3.1是两组心肌梗塞病人病死率的比较，见表3.5，其中对照组未用抗凝药。两组病人的病死率不同，抗凝药组为25.33%，对照组为40.8%。造成这种不同的原因可能有两种：一种是仅由抽样误差所致；另一种是两个总体病死率确实有所不同。为了区别这两种情况，应当进行X²检验。其基本步骤如下：

　　1．首先将资料写成四格表形式，如表3.6。

　　将每个组的治疗人数分为死亡与生存两部分，各占四格表中的一格，这些数字称为实际频数，符号为A，即实际观察得来的数字。

　　2.建立检验假设　为了进行检验，首先作检验假设：两种疗法的两总体病死率相等，为35%（即70/200)，记为H₀：π₁=π₂。即不论用或不用抗凝药，病死率都是35%，所以亦可以换一种说法：病死率与疗法无关。

　　上述假设经过下面步骤的检验后，可以被接受也可以被拒绝。当H₀被拒绝时，就意味着接受其对立假设即备择假设H₁。此例备择假设为两总体病死率不相等，记为H₁：π₁≠π₂

　　因为我们观察的是随机现象，所以无论是接受或拒绝H₀都冒有一定风险，即存在着错判的可能性。一般要求，当错误地被拒绝的概率α不超过一定的数值，如5%（或0.05)，此值称为检验水准，记为α=0.05。

　　3．计算理论频数　根据“检验假设”推算出来的频数称理论频数，符号为T。计算方法如下：假设两总体病死率相同，都是35.0%，那么抗凝血组治疗75人，其死亡的理论频数应为75×35.0%=26.25人，而生存的理论频数为75-26.25=48.75人。用同样方法可求出对照组的死亡与生存的理论频数，前者为43.75人。后者为81.25人。 然后，把这些理论频数填入相应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

　　计算理论频数也可用下式（3.4)

　　T_RC=n_Rn_C/N (3.4)

　　式中，T_RC为R行与C列相交格子的理论频数，n_R为与计算的理论频数同行的合计数，n_C为与该理论频数同列的合计数，N为总例数。

　　例如；表3.6第一行与第一列相交格子的理论频数（T_1１)为

　　T_1１＝ 75×70/200=26.25

　　用两种方法计算，结果是相同的。

　　4．计算χ²值，计算χ²值的基本公式为：

　　X²=∑（A-T)²/t 　（3.5)

　　式中，A为实际频数，T为理论频数，∑为求和符号。

　　将表3.6里的实际频数与理论频数代入式（3.5)即求得χ²值。此例χ²=4.929。

　　从式3.5中可看出，实际频数与理论频数之差（A-T)愈小，所得的χ²值就愈小，理论频数是根据检验假设推算出来的，若与实际频数相差不大，说明假设与实际情况符合，于是就接受H₀，认为两病死率无显著差别；反之，若（A-T)大，则χ²值亦大，说明假设与实际不符，就拒绝假设，认为两病死率有差别。但χ²值大还是小，要有一个比较的标准，要查χ²值表（附表1)，查χ²值表前先要定自由度。

　　5．求自由度　自由度是数学上的一个名词。在统计中，几个数据不受任何条件（如统计量，即样本特征数)的限制，几个数据就可以任意指定，称为有几个自由度。若受到P个条件限制，就只有n-p个自由度了。例如在四格表中有四个实际频数，如没有任何条件限制，则4个数字都可任意取值，有4个自由度，当a+b,，c+d，a+c，b+d都固定后，在a、b、c、d四个实际频数中，只能有一个频数可任意指定了，因此，四格表的自由度为1。其计算公式为：

　　ν=（R-1)（C-1) （3.6)

　　式中，ν为自由度，R为横行数，C为纵列数。

　　四格表有2行和2列（注意：总计与合计栏不算在内)。因此ν=(2-1)(2-1)=1。

　　6．求P值，作结论　根据自由度查χ²值表（附表1)。此表的左侧ν为自由度，表内数字χ²值，表的上端P是从同一总体中抽得此样本χ²值的概率。三者关系是：在同一自由度下，χ²值越大，从同一总体中抽得此样本的概率P值越小；在同一P值下，自由度越大，χ²值也越大。χ²值与概率P呈相反的关系。χ²检验的常用界值为：

　　χ²<χ²_0.05（)P>0.05 在α=0.05水准处接受H₀，差别不显著

　　χ²_0.05≤χ²<χ²_0.01()0.05≥P>0.01 在α=0.05水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

　　χ²≥χ²_0.01（)P≤0.01 在α=0.01水准处拒绝H_O，接受H₁，差别显著

　　这里α是预定的检验水准。χ²_0.05（)是当自由度为ν时与P=0.05相对应的χ² 值，简称5%点，χ²_0.01（)是与P=0.01相对应的χ² 值，简称1%点。

　　当ν=1时，χ²_0.05（1)3.84，χ²_0.01（1)=6.63。本例自由度为1，求得χ²=4.929,介于3.84与6.63之间，或写成χ²_0.05（1)<χ²<χ²_0.01（1)。由于与3.84对应的纵行P=0.05，与6.63对应的纵行P=0.01，因此与样本χ²=4.929相应的概率介于0.05与0.01之间，写成0.05>P>0.01。在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，两总体率不等。对照组的病死率较抗凝血组高。

　　在α=0.05水准处拒绝H₀，说明若在同样情况下作100次判断，将有5次或不到5次的机会，将原没有差别的两总体率错判为有差别，或说这样判断犯I型错误的概率不超过5%。

　　下面将实例的检验步骤集中列出。

　　例3.1　两组心肌梗塞病人的病死率可见于表3.5，其中对照组未用抗凝药。抗凝血组病死率为25.33%，对照组为40.80%，问两组病死率有无显著差别？

表3.5　两组心肌梗塞病人病死率比较

组别	治疗人数	死亡人数	病死率（%)
抗凝血组	75	19	25.33
对照组	125	51	40.80
总计	200	70	35.00

　　检验步骤如下：

　　1．将资料列成四格表形式，如表3.6。

表3.6　四格表式样

	死亡	生存	合计
抗凝血组	19(26.25)	56(48.75)	75
对照组	51(43.75)	74(81.25)	125
总 计	70	130	200

　　2．H₀：两疗法的总体病死率相同，即_π1=_π2

　　H₁：两疗法的总体病死率不同，即_π1≠_π2

　　α=0.05

　　3．求理论频数

　　抗凝血组：

　　死亡人数为75×35.0%=26.25人

　　存活人数为 75-26.25=48.75人

　　对照组：

　　死亡人数为125×35.0%=43.75人

　　存活人数为 125-43.75=81.25人

　　把理论频数填入相对应的实际频数格内，见表3.6括号内数字。

　　4．求χ²值 将表3.6里的数值代入式（3.5)得，

　　5．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（2-1)（2-1)=1，χ² _0.05（1)=3.84,χ² _0.01（1)=6.63,

　　本例χ² =4.929,χ² _0.05（1)<χ² <χ² _0.01（1)，则0.05>P>0.01，在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，即两总体病死率不等，对照组病死率较抗凝血组高。

　　上例告诉我们，两个样本病死率一大一小，在未作检验之前，很难说它们两总体率是否有差别，为了作出正确判断，作X²检验。先假设两总体病死率相同，推算理论频数，由实际频数与理论频数计算χ²值，二者相差越大，χ²值也越大。本例得χ²=4.929，根据自由度为1时的χ²分布推断，从同一总体内抽样，出现χ²值等于或大于4.929的概率较小，每一百次中在5次以下，1次以上，因此检验假设被拒绝，而判断为有显著差别。

　　（二)连续性校正公式　χ²检验是以连续的光滑曲线做根据的，当自由度为1时，χ²检验所得的概率容易偏低，因些需要校正，校正后的χ²值比不校正的小一些，校正公式是：

　　 （3.7)　

　　公式中A-T前后两条直线是绝对值的符号。

　　将表3.5资料代入式（3.7)得：

　　检验两个率相差的显著性时（此时自由度为1)，理论上都可用校正公式。但当用公式（3.5)求出的χ²值小于3.84时，相应的P值大于0.05，表示两个率相差不显著，校正后χ²值更小，仍得同样结构，就无须校正；当用未校正公式求出的χ²值远远超过3.84时，校正后的结论仍相同，在此种情况下也可不校正；当自由度为2及以上时，则不必校正。

　　当用公式（3.5)求出的χ²值略大于3.84时，校正最为必要，往往会改变原来的结论，举例如下。

　　例3.2表3.7是六六六粉的两种配方进行野外烟剂灭黄鼠实验的观察结果。

表3.7　六六六粉两种配方灭黄鼠的效果

	烟薰后鼠洞情况		合计（实验观察洞数)	灭洞率（%)
	未盗开	盗开
04号配方	13(16.63)	9(5.37)	22	59.1
05号配方	80(76.37)	21(24.63)	101	79.2
总 计	93	30	123	75.6

　　现用公式（3.5)及式（3.6)分别计算χ²值如下：

　　校正后的χ²值小于3.84，P>0.05，在α=0.05的水准处接受H₀，认为两种配方灭黄鼠效果无显著差异，这相结论是比较合理的，如果不经校正就会得出错误的结论。

　　（三)四格表中求χ²的专用公式　用上述基本公式（3.5)求χ²值，需要求出与实际频数一一对应的理论频数，运算较繁。在四格表中，用下列专用公式较为简便。

　（3.8)

　　式中a、b、c、d为四格表中的实际频数，N表示总例数（即N=a+b+c+d)。

　　现仍以表3.5资料为例，先写成四格表形式，如表3.8。

表3.8　四格表求χ²值专用公式的符号

	死 亡	生存	合 计
抗凝血组	19(a)	56(b)	75(a+b)
对照组	51(c)	74(d)	125(c+d)
	70（a+c)	130(b+d)	200(N)

　　将实际频数代入式（3.8)得，

　　这里用专用公式求得的χ²值与前面用基本公式求得的结果完全不同，有时这两个公式求得的结果小数点后几位可能稍有出入，这是由于受小数四舍五入的影响。

　　前面已介绍了连续性校正公式（3.7)，为使运算更为简便，下面列出专用公式的连续性校正公式（3.9)，并以表3.8资料代入计算如下：

（3.9)

　　所得结果与式(3.7)求得的一致。

　　二、多个率或多个构成比的比较

　　（一)2×K表的专用公式，前面已讨论了，两个率的比较用四格表专用公式计算χ²值较为简便。如果是多个率比较，就要列成2×K表。这里的K暂为所比较的组数，2为每个组内所划分的类型数。求χ²值时本可用基本公式计算，但以用下列专用公式为便：

　　　　　　　　　　　　 （3.10) （3.11)

　　　　　　　　表3.9　2×K表形式之一

a1 a2 ┆ ┆	b1 b2 ┆ ┆	n1 n2 ┆ ┆
∑ai	∑bi	N

　　公式中符号的意义参阅表3.9，以上两个公式的计算结果是完全一样的。

　　例3.3 某地观察磺胺三甲氧吡嗪加增效剂（吡嗪磺合剂)预防疟疾复发的效果，用已知有抗疟疾复发效果的乙胺嘧啶和不投药组作对照，比较三组的疟疾复发率，资料如表3.10，问三组复发率有无显著差别？

表3.10　三个组的疟疾复发率

组　别	观察例数	复发例数	复发率（%)
吡嗪磺合剂 乙胺嘧啶 对　照	1996 473 484	76 27 53	3.81 5.71 10.95
合　计	2953	156	5.28

　　χ²检验步骤如下：

　　1．将表3.10资料写成2×K表形式，见表3.11。注意：这里必须把各组的观察例数分为复发和未复发两部分，这样表3.10就为写成2×3表。

表3.11　三个组疟疾复发率的比较

	复发	未复发	合 计
吡嗪磺合剂	76	1920	1996
乙胺嘧啶	27	446	473
对 照	53	431	484
合 计	156	2797	2953

　　2．H₀：三个总体复发率相同

　　H_１：三个总体复发率不全相同

　　α=0.05

　　3．求χ²值 将表3.11的数值代入式（3.10)（因为在表3.11中，各组的a值较小，计算较方便)得：

　　4．求自由度，确定P值，作结论

　　ν=（K-1)（2-1)=（3-1)（2-1)=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21，本例χ²=39.92>χ²_0.01(2)，P<0.01,在α=0.05的水准处拒绝H₀，接受H₁，即三个组的复发率有显著差别。

　　本例的结论是三个组的复发率有显著差别，因此，还需进一步说明三组中那两组有差别，可用四格表对每两个率进行假设检验。本例的检验结果是：吡嗪磺合剂与对照组比（P<0.01)，乙胺嘧啶组与对照组比（P<0.01)，而吡嗪磺合剂与乙胺嘧啶比（P>0.05)，说明吡嗪磺合剂有预防疟疾复发的作用，其效果不低于乙胺嘧啶。

　　本例2×K表的2是指得发、未复发两项，K为比较的组数，K=3。如果比较组数只有2，而构成每组的项数则多于2，如甲状腺肿的型别构成可分为弥漫型、结节型、混合型三种。这类资料亦同样可用2×K表专用公式进行检验。这时把2作为比较组数，K作为项数，检验方法同上，表3.12是2×K表的另一种形式。

表3.12　2×K表形式之二

a1	a2	……	∑ai ∑bi
b1	b2	……
n1	n2	……	N

　　例3.4，为研究不同地域甲状腺型别的构成有无显著差别，某省对两个县的居民进行甲状腺肿调查，得资料如表3.13，问甲乙两县各型甲状腺肿患者构成比有无显著判别？

表3.13　某省甲乙两县甲状腺肿患者型别构成比较

县名	弥漫型	结节型	混合型	合计
甲县	486	2	4	492
乙县	133	260	51	444
合计	619	262	55	936

　　检验步骤如下：

　　1．H₀：两总体甲状腺肿型别构成相同

　　H_1：两总体甲状腺肿型别构成不同

　　α=0.05

　　2．求χ²值， 将表3.13中的数值代入式3.10得：

　　3．求自由度，确定P值，作结论。

　　ν=（3-1)（2-1)=2，查χ²值表得χ²_0.01(2)=9.21,本例，χ²=494.36，P<0.01,在α=0.05水准处拒绝H₀，接受H₁，甲、乙两县甲状腺肿型别构成有差别（P<0.01)。甲县以弥漫型为主，而乙县结节型较多，地域与患者的型别构成具有一定的关系。

　　此类资料经χ²检验作结论，如果不显著，说明两组资料的构成比来自同一总体，没有显著差别。如果结论显著，说明两组的构成比来自不同总体，差别有显著性。同时要指出两组构成的主要区别。

　　（二)R×C表的通用公式当资料的行数和列数都超过2时称R×C表。对此种资料作假设检验时，可用基本公式（3.5),但运算较繁，如果用R×C表的通用公式计算χ²值，较为简便。

　　　　　　　　　　　　　 （3.12)

　　式中，A_ij为i行第j列的实际频数，n_i为第i行的合计数，n_j为第j行列的合计数，N为总频数。

　　这个公式也系由基本公式（3.5)推导出来，式（3.12)也可用以求四格表、2×K表资料的X²值，故称通用公式，用此公式不需计算理论频数，与基本公式（3.5)相比，较为简便。

　　例3.5某院肝胆外科在手术中观察了胆结石的部位与类型得资料如表3.14,试分析两者间有无关系存在？

表3.14　胆结石类型与部位的关系

结石部位	总例数	例数			百分比
		胆固醇结石	胆红素结石	其它	胆固醇结石	胆红素结石	其它
胆囊	118	70	16	32	59.3	13.6	27.1
肝外胆管	75	12	39	24	16.0	52.0	32.0
肝内胆管	29	2	20	7	6.9	69.0	24.1
合计	222	84	75	63	37.8	33.8	28.4

　　检验步骤如下：

　　1．将表3.14资料写成R×C表形式，见表3.15.

表3.15　胆结石类型与部位的关系

结石部位	结构类型
	胆固醇结石	胆红素结石	其它	合计
胆囊	70	16	32	118
肝外胆管	12	39	24	75
肝内胆管	2	20	7	29
合计	84	75	63	222

　　2．H₀：胆结石的类型与部位没有关系

　　H₁：胆结石的类型与部位有关系

　　α=0.01

　　3．求χ²值 将表3.15数值代入式（3.12)得：

　　4．求自由度，确定P值，作结论。

　　ν=（3-1)（3-1)=4，查χ²值表得χ²_0.01(4)=13.28，本例χ²=64.06<χ²_0.01。在α=0.01水准处拒绝H₀，接受H₁，胆结石类型与部位有显著关系存在（P<0.01),胆囊内以胆固醇结石居多，肝内、外胆管以胆红素结石为主。